Quý thầy, cô đến dự tiết học này!

Các em học sinh lớp 12
TIẾT 42
§ 7 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
* KIỂM TRA BÀI CŨ:
KIẾN THỨC LIÊN QUAN
+ Nêu các bước khảo sát và vẽ đồ thị
+ Nêu phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M0(x0 ; y0)
+ Hệ số góc của tiếp tuyến có đặc điểm gì?
+ Dạng của phương trình tiếp tuyến qua điểm A(x1 ; y1)
Minh hoa
+ Nêu mối liên hệ giữa hệ số góc của hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc?
I - Số giao điểm của hai đường
1. Dựa vào phương trình tìm số giao điểm của hai đồ thị
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C1) ; y = g(x) có đồ thị (C2). Điểm M(x0 ; y0) là giao điểm của (C1) và (C2) khi (x0 ;y0) là nghiệm của hệ
Phương trình (1) gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
Từ số nghiệm của phương trình (1) suy ra số giao điểm của (C1) và (C2)
2. Dựa vào đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và phương trình f(x) = m (1) ( trong đó m là tham số). Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) với đường thẳng (d): y = m ( song song hoặc trùng với trục hoành)
Minh hoa
* Ví dụ 1:
Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (d)
Giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
Ta có: ∆ = m2 - 4
+ Nếu ∆ < 0  -2 < m < 2 pt vô nghiệm. Không có giao điểm
+ Nếu ∆ = 0  m = -2 hoặc m = 2 pt có nghiệm kép x1 = x 2 . (d) tiếp xúc với (C)
+ Nếu ∆ > 0  m < -2 hoặc m > 2 pt có hai nghiệm phân biệt. Suy ra có hai giao điểm

Minh hoa
* Ví dụ 2:
1) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình
Giải:
Ta có: pt (2)
Do đó số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của (C) và đường thẳng (d): y = k
+ Nếu k < -2 hoặc k >2 pt (2) có một nghiệm đơn
+ Nếu -2 < k < 2 pt (2) có ba nghiệm
+ Nếu k = -2 hoặc k = 2 pt (2) có hai nghiệm
( một nghiệm đơn, một nghiệm kép)
Minh hoa
* Ví dụ 2:
2) Tìm giá trị a để phương trình x3 – 3x2 – a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1
Giải:
Từ đồ thị ta có: -2 < a +2 < 0  -4 < a < -2
Minh hoa
II - Điểm cố định của đồ thị
Giải hệ
Kết luận điểm cố định của đồ thị (C)
Ví dụ 3: Cho hàm số
Tìm điểm cố định của đồ thị (Cm)
Có hai điểm cố định A(1 ; -4) ; B(-1 ; -4)
Minh hoa
III - Điểm có toạ độ nguyên trên đồ thị
Từ (*) suy ra các giá trị nguyên của x để y là số nguyên
Ví dụ 4: Cho hàm số
Tìm trên (C) những điểm có toạ độ là các số nguyên
Vậy các điểm cần tìm là A(0 ;-1) ; B(-2 ; 3) ; C(1 ; 0) ; D(-3 ; 2)
Minh hoa
IV - Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Phương pháp giải:
1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0 ; y0) là:
2. Đường thẳng (d) đi qua M1 có phương trình dạng y = k(x - x1) + y1
Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ pt sau có nghiệm :
Giải hệ tìm x và k, suy ra phương trình của tiếp tuyến.
Minh hoa
3. Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên
Giải phương trình (3) tìm các giá trị x0 suy ra y0 thay vào pt tiếp tuyến
y = f’(x0)(x – x0) + y0
Ví dụ 5: Cho hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1;0)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A(0 ; 3).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + 2
Giải:
a) Tại điểm I(1 ; 0). Phương trình tiếp tuyến của (C) là:
b) Đường thẳng (d) đi qua A có phương trình dạng y = kx + 3
Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì điều kiện cần và đủ là
Minh hoa
Có hai tiếp tuyến là:
* Chú ý: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) lần lượt có đồ thị (C1) và (C2). Điều kiện để (C1) tiếp xúc với (C2) là:
c) Ta có:
Có hai tiếp tuyến là:
Minh hoa
Bài 1: Cho hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm cố định của (Cm).
BÀI TẬP CỦNG CỐ
Giải:
a) Tìm các điểm cố định
Có hai điểm cố định A(1 ; 0) ; B(-1 ; -2)
* Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A là:
b) Ta có:
* Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại B là:
Minh hoa
Bài 2: Cho hàm số
Đường thẳng (d) qua điểm A(3 ; 20) có hệ số góc m. Tìm m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Giải:
Ta có: (d) có pt: y = mx – 3m + 20
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:
Ta phải có pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 3
Minh hoa
Quý thầy, cô, các em học sinh
sức khoẻ và thành đạt.